04 · Mathématiques · Recherche
Recherche personnelle sur un problème ouvert d’irréductibilité lié à une famille de polynômes de Fibonacci d’une simplicité trompeuse.
Contexte
Les mathématiques restent pour moi une pratique active. La conjecture de Garth–Mills–Mitchell concerne la famille de polynômes présentée ci-dessous, où F désigne les nombres de Fibonacci. Elle affirme que chaque polynôme de cette famille est irréductible sur les nombres rationnels : il ne peut pas être décomposé en facteurs polynomiaux plus simples à coefficients rationnels. La définition est élémentaire, mais démontrer l’affirmation pour tout degré semble étonnamment difficile.
Mon approche
Je combine raisonnement démonstratif, calcul et exploration assistée par l’IA. L’IA agit comme un compagnon de recherche : elle m’aide à examiner des pistes, mettre les arguments à l’épreuve, repérer des lacunes, concevoir des expériences, comparer des reformulations, organiser une investigation ramifiée et transformer des motifs numériques en lemmes possibles ou en meilleures questions. Elle peut suggérer une structure et tester la solidité d’une idée ; la validité mathématique dépend toujours d’une preuve rigoureuse et d’une vérification indépendante.
Pourquoi cela compte
J’aime le contraste entre un problème qui s’énonce en quelques lignes et la profondeur qui apparaît lorsqu’on essaie de le démontrer. C’est aussi un terrain particulièrement intéressant pour explorer ce que les modèles de langage peuvent ou ne peuvent pas apporter au raisonnement mathématique ouvert : au-delà de la productivité ou du code, dans un processus intellectuel véritablement difficile.
État actuel
Recherche personnelle active. L’investigation est en cours et non publiée ; aucune résolution de la conjecture n’est revendiquée.